Question

復平面內點A對應復數z，點B對應復數為，O為原點，△AOB是面積為的直角三角形，argz∈（0，），求復數z的值．

Answer 1

【答案】分析：由題意知，有兩個角可能是直角，針對于兩個角展開討論，當∠AOB=90°時根據復數的對應關系和三角形的面積得到要求的結果，同理當∠ABO=90°時，也可以做出結果．
解答：解：對于那一個角為直角不清楚，需要討論
∵|OA|=|z|＞||=|OB|，
∴∠A不可能是直角，
∴可能∠AOB=90°或∠ABO=90°．
若∠AOB=90°，示意圖如圖所示．
∵z與所對應的點關于
實軸對稱，
∴argz=45°，
S_△AOB=|OA|•|OB|=|z|•||=|z|²=．于是，|z|=2，
∴z=2（cos45°+isin45°）=+i．

若∠ABO=90°，示意圖如圖所示．
∵z與所對應的點關于實軸對稱，且∠AOB＜90°，故argz=θ＜45°．
令z=r（cosθ+isinθ），則
cos2θ==，sin2θ=，
S_△AOB=|OA|•|OB|•sin2θ
=r•r•=r²=．
∴r=．又cosθ==，
sinθ==，
∴z=（+i）=2+i．
綜上所述，z=+i或z=2+i．
點評：本題考查復數的簡單運算和復數的幾何意義，是一個綜合題，這是一個數形結合思想應用的典型題目，是一個中檔題．