如圖,在多面體ABCDE中,AE⊥面ABC,DB∥AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F(xiàn)為CD中點.
(1)求證:EF⊥平面BCD;
(2)求平面ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值.
分析:(1)找BC中點G點,連接AG,F(xiàn)G,證明EF∥AG,然后證明AG⊥平面BCD,說明EF⊥平面BCD.
(2)以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,求出C,E,F(xiàn),
ED
,
CF
的坐標,設(shè)平面CEF的法向量為
n
=(x,y,z)
,利用
CE
n
=0
CF
n
=0
,求出
n
,說明平面ABC的法向量為
u
=(0,0,1)
,利用cos(
n
,
u
)=
n
u
|
n
||
u|
,即可得到平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值.
解答:解:(1)找BC中點G點,連接AG,F(xiàn)G
∴F,G分別為DC,BC中點
F
G
=
1
2
D
B
=
EA

∴四邊形EFGA為平行四邊形∴EF∥AG
∵AE⊥平面ABC,BD∥AE
∴DB⊥平面ABC,
又∵DB?平面BCD.
∴平面ABC⊥平面BCD
又∵G為BC中點且AC=AB=BC∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BCD
∴EF⊥平面BCD
(2)以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標系
C(
3
2
,0,0),E(0,-
1
2
,1),F(xiàn)(
3
4
1
4
,1),
ED
(-
3
2
,-
1
2
,1),
CF
(-
3
4
1
4
,1)

設(shè)平面CEF的法向量為
n
=(x,y,z)
,
CE
n
=-
3
2
x-
1
2
y+z=0
CF
n
=-
3
4
x-
1
4
y+z=0
n
=(
3
,-1,1)

平面ABC的法向量為
u
=(0,0,1)

cos(
n
,
u
)=
n
u
|
n
||
u|
=
1
5
=
5
5

∴平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值為
5
5
點評:本題考查用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力和計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•青島二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=
12
BC.
(Ⅰ)求證:面A1AC⊥面ABC;
(Ⅱ)求證:AB1∥面A1C1C.

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