已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)f(x)=2sinx,x∈[0,],試寫出f1(x),f2(x)的表達(dá)式,并判斷f(x)是否為[0,]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,請求對應(yīng)的k的值;如果不是,請說明理由;
(2)已知b>0,函數(shù)g(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍.
解:(1)由題意可得,
于是f2(x)﹣f1(x)=2sinx.
若f(x)是[0, ]上的“k階收縮函數(shù)”,則2sinx≤kx在[0, ]上恒成立,且x1∈[0, ]使得2sinx>(k﹣1)x 成立.
令φ(x)=sinx﹣x,x∈[0, ],則φ′(x)=cosx﹣1<0,
所以φ(x)=sinx﹣x在[0, ]單調(diào)遞減,
∴φ(x)≤φ(0),x∈[0, ],
即sinx≤x,于是2sinx≤2x在[0, ]恒成立;
x1= ,2sinx>x成立.
故存在最小的正整數(shù)k=2,使f(x)為[0, ]上的“2階收縮函數(shù)”. 
(2)g'(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2),
令g'(x)=0得x=0或x=2.
令g(x)=0,解得x=0或3.
函數(shù)g(x),g′(x)的變化情況如下:
 
(i)b≤2時(shí),g(x)在[0,b]上單調(diào)遞增,因此,g2(x)=g(x)=﹣x3+3x2,g1(x)=g(0)=0.
因?yàn)間(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),
所以,①g2(x)﹣g1(x)≤2(x﹣0)對x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得g2(x)﹣g1(x)>(x﹣0)成立.
①即:﹣x3+3x2≤2x對x∈[0,b]恒成立,
由﹣x3+3x2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2,
要使﹣x3+3x2≤2x對x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1.
②即:存在x∈[0,b],使得x(x2﹣3x+1)<0成立.
由x(x2﹣3x+1)<0得:x<0或
所以,需且只需
綜合①②可得:
(ii)當(dāng)b>2時(shí),顯然有,由于g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,根據(jù)定義可得:
可得,
此時(shí),g2(x)﹣g1(x)≤2(x﹣0)不成立.
綜合(i),(ii)可得:
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3
3

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2n,n為奇數(shù)
f(an),n為偶數(shù)

(I)求f(n)(n∈N*)的表達(dá)式;
(II)設(shè)λ=3,求a1+a2+a3+…+a2n
(III)若對任意n∈N*,總有anan+1<an+1an+2,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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2x+4
2x+4

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π
4
,-
1
2
),它的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=Acos(ωx+φ)(x∈R)的圖象的一部分如圖所示,其中A>0,ω>0,|φ|<
π
2
,為了得到函
數(shù)f(x)的圖象,只要將函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( 。

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A、f(2a)<f(3)<f(log2a)B、f(3)<f(log2a)<f(2a)C、f(log2a)<f(3)<f(2a)D、f(log2a)<f(2a)<f(3)

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