已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,半徑小于5.
(Ⅰ)求直線PQ與圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l∥PQ,直線l與圓C交于點A,B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,求直線l的方程.
(Ⅰ) (x-1)2+y2=13.(Ⅱ)y=-x+4或y=-x-3.
解析試題分析:(Ⅰ)直線PQ的方程為:x+y-2=0,
設圓心C(a,b)半徑為r,
由于線段PQ的垂直平分線的方程是y-=x-
,即y=x-1,
所以b=a-1. ①
又由在y軸上截得的線段長為4,知r2=12+a2,
可得(a+1)2+(b-3)2=12+a2, ②
由①②得: a=1,b=0或a=5,b=4.
當a=1,b=0時,r2=13滿足題意,
當a=5,b=4時,r2=37不滿足題意,
故圓C的方程為(x-1)2+y2=13.
(Ⅱ)設直線l的方程為y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2),
由題意可知OA⊥OB,即=0,
∴x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 化簡得2x1x2-m(x1+x2)+m2=0. ③
由得2x2-2(m+1)x+m2-12=0,
∴x1+x2=m+1,x1x2=.
代入③式,得m2-m·(1+m)+m2-12=0,
∴m=4或m=-3,經(jīng)檢驗都滿足判別式Δ>0,
∴y=-x+4或y=-x-3.
考點:圓的標準方程,直線方程,直線與圓的位置關系,向量垂直的條件。
點評:中檔題,求圓的方程,一般利用待定系數(shù)法,本題解法是從確定圓心、半徑入手,體現(xiàn)解題的靈活性。直線與圓的位置關系問題,往往涉及圓的“特征三角形”,利用勾股定理解決弦長計算問題。利用代數(shù)法研究直線與圓的位置關系,常常應用韋達定理,簡化解題過程。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知是拋物線
上的點,
是
的焦點, 以
為直徑的圓
與
軸的另一個交點為
.
(Ⅰ)求與
的方程;
(Ⅱ)過點且斜率大于零的直線
與拋物線
交于
兩點,
為坐標原點,
的面積為
,證明:直線
與圓
相切.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系中,點
,直線
,設圓
的半徑為1, 圓心在
上.
(1)若圓心也在直線
上,過點
作圓
的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點
,使
,求圓心
的橫坐標
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知:以點C (t, )(t∈R , t ≠ 0)為圓心的圓與
軸交于點O, A,與y軸交于點O, B,其中O為原點.
(Ⅰ)求證:△OAB的面積為定值;
(Ⅱ)設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N,若|OM| = |ON|,求圓C的方程.
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