Question

已知命題P：?a，b∈（0，+∞），當(dāng)a+b=1時，

1

a

+

1

b

=3；命題Q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立，則下列命題是假命題的是（　　）

• A、非P∨非Q
• B、非P∧非Q
• C、非P∨Q
• D、非P∧Q

Answer 1

分析：先判斷命題P和命題Q的真假，再對選項(xiàng)進(jìn)行逐個鑒別，可得正確答案，對于命題P，可用“1的代換”結(jié)合基本不等式，求出

1

a

+

1

b

的最小值為4從而得出命題P為假命題；對于命題Q，運(yùn)用一元二次方程根的判別式，得出命題Q是真命題．

解答：解：分別判斷命題P和命題Q的真假
①先看命題P：
因?yàn)閍，b∈（0，+∞），并且a+b=1，所以

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

) =2+

b

a

+

a

b

∵

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2
∴

1

a

+

1

b

≥2+2=4，
說明

1

a

+

1

b

的最小值為4，因此命題P為假命題；
②再看命題Q：
一元二次方程x²-x+1=0的根的差別式
△=（-1）²-4×1×1=-3＜0
故相應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向上，與x軸無公共點(diǎn)，
因此x²-x+1≥0在R上恒成立，命題Q是真命題
∴命題P和命題Q其中一個為真命題，另一個為假命題，可得“非P∧非Q”是假命題
故正確答案為 選B

點(diǎn)評：對于復(fù)合命題的真假，可分別判斷這兩個命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真值表來判斷其真假；運(yùn)用基本不等式求最值，應(yīng)該注意“1的代換”的妙用，避免二次運(yùn)用基本不等式而出錯．