Question

(本小題滿分1 4分)已知m，t∈R，函數(shù)f (x) =(x - t)³+m．

(I)當(dāng)t =1時(shí)，

(i)若f (1) =1，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；

(ii)若關(guān)于x的不等式f (x)≥x³—1在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍；

(Ⅱ)已知曲線y= f (x)在其圖象上的兩點(diǎn)A(x₁，f (x₁))，B(x₂，f (x₂)))( x₁≠x₂)處的切線

分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點(diǎn)A與點(diǎn)B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）(i)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519170512509098/SYS201205251919068906116478_DA.files/image001.png">，所以，·················· 1分

則， 而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．·············· 4分

（ii）不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

等價(jià)于在區(qū)間上的最小值，············· 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519170512509098/SYS201205251919068906116478_DA.files/image012.png">時(shí)，，

所以的取值范圍是．···················· 9分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519170512509098/SYS201205251919068906116478_DA.files/image016.png">的對(duì)稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱． 10分

對(duì)猜想證明如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519170512509098/SYS201205251919068906116478_DA.files/image024.png">

所以

所以，，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519170512509098/SYS201205251919068906116478_DA.files/image030.png">，

所以，，························ 12分

從而，

所以．

又由上

所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（對(duì)稱.

故直線與平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．·········· 14分

 

【解析】略