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3.△ABC中,cosC是方程2x2-3x-2=0的一個(gè)根.
(1)求C的度數(shù);
(2)當(dāng)a+b=10時(shí),求△ABC周長(zhǎng)的最小值.

分析 (1)由題意和一元二次方程的解法求出cosC的值,由余弦函數(shù)的值域進(jìn)行取舍;
(2)由(1)和余弦定理列出方程化簡(jiǎn),由條件和基本不等式求出ab的范圍,可求出c的范圍,即可求出△ABC周長(zhǎng)的最小值.

解答 解:(1)∵cosC是方程2x2-3x-2=0的一個(gè)根,
∴cosC=12或cosC=2(舍去),
即cosC=12;
(2)由(1)和余弦定理得,
c2=a2+b2-2abcosC,即c2=a2+b2+ab,
∵a+b=10,∴aba+b22=25,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),
則c2=(a+b)2-ab=100-ab≥75,即c≥53,
∴△ABC周長(zhǎng)的最小值是10+53

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理,余弦函數(shù)的值域,以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查化簡(jiǎn)、變形能力.

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