Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+3，(n∈N*)
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）求和

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求得通項(xiàng)a_n；
（2）利用裂項(xiàng)法，即可求和．

解答：解：（1）∵a₁=S₁=6，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3≠6，∴an=

6(n=1) 2n+1(n≥2).

…（6分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，原式=

1

30

當(dāng)n≥2時(shí)，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

•(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴原式=

1

30

+

1

2

•(

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

30

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

2

15

-

1

2(2n+3)

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．