Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：
①f（1）=0
②函數(shù)y=f（x）在[4，5]上單調(diào)遞增
③直線x=-2為函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上兩根x₁，x₂，則x₁+x₂=-4．
以上命題正確的是

 

（請把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，令x=-2求得f（1）=0，判斷出函數(shù)為周期函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖象，由圖象判斷②③④．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
可得f（-1）=f（1），
在f（x+2）=f（x）+f（1）中，
令x=-2得f（1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又當(dāng)x∈[0，1]時，y=f（x）單調(diào)遞減，
結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，
如圖所示．
從圖中可以得出：②函數(shù)y=f（x）在[4，5]單調(diào)遞減；
③x=-2為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-4．
故答案為：①③④．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，屬于難題