Question

在算式“1×□+4×□=30”的兩個□中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個數(shù)的和為______．

Answer 1

設(shè)1×m+4n=30，m、n∈N₊，則m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y=

1

m

+

1

n

=

1

30-4n

+

1

n

=

3(10-n)

n(30-4n)

，
則

1

y

=

n(30-4n)

3(10-n)

=

40n-4n2-10n

3(10-n)

=

4n(10-n)-10n

3(10-n)

=

4n

3

-

10n

3(10-n)

=

4n

3

+

10(10-n)-100

3(10-n)

=

4n

3

-

100

3(10-n)

+

10

3

=

-4(10-n)+40

3

-

100

3 (10-n)

+

10

3

=-

4

3

[（10-n）+

25

10-n

]+

50

3

≤-

4

3

×2×

25

+

50

3

=

10

3

．
當10-n=

25

10-n

時取等號，即

1

y

取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，則m=10．所以m+n=15．
故答案為15．