A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
分析 利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”,對①②③④逐個判斷即可得到答案.
解答 解:①、若f(x)為“1一半隨函數(shù)”,則f(x+1)+f(x)=0,可得f(x+1)=-f(x),
可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),因此x=0,可得f(0)=f(2);故①正確;
②、假設(shè)f(x)=ax是一個“λ一半隨函數(shù)”,則ax+λ+λax=0對任意實數(shù)x成立,
則有aλ+λ=0,而此式有解,所以f(x)=ax是“λ一半隨函數(shù)”,故②正確.
③、令x=0,得f($\frac{1}{2}$)+$\frac{1}{2}$f(0)=0.所以f($\frac{1}{2}$)=-$\frac{1}{2}$f(0),
若f(0)=0,顯然f(x)=0有實數(shù)根;若f(0)≠0,f($\frac{1}{2}$)•f(0)=-$\frac{1}{2}$(f(0))2<0,
又因為f(x)的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷,所以f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上必有實數(shù)根,
因此任意的“-$\frac{1}{2}$一半隨函數(shù)”必有根,即任意“-$\frac{1}{2}$一半隨函數(shù)”至少有一個零點.故③正確.
④、假設(shè)f(x)=x2是一個“λ一半隨函數(shù)”,則(x+λ)2+λx2=0,
即(1+λ)x2+2λx+λ2=0對任意實數(shù)x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式無解,所以f(x)=x2不是一個“λ-同伴函數(shù)”.故④錯誤
正確判斷:①②③.
故選:C.
點評 本題考查的知識點是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素,函數(shù)的零點,正確理解f(x)是λ-同伴函數(shù)的定義,是解答本題的關(guān)鍵.
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A. | 1-$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$-1 | C. | 5-$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$-5 |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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A. | $-\frac{5}{3}<a<-\frac{3}{16}$ | B. | $-\frac{8}{5}<a<-\frac{3}{16}$ | C. | $-\frac{8}{3}<a<-\frac{1}{16}$ | D. | $-\frac{6}{5}<a<-\frac{3}{16}$ |
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