Question

17．定義域是一切實數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）實數(shù)一個“λ一半隨函數(shù)”，有下列關(guān)于“λ一半隨函數(shù)”的結(jié)論：①若f（x）為“1一半隨函數(shù)”，則f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a^x為一個“λ一半隨函數(shù)；③“$\frac{1}{2}$一半隨函數(shù)”至少有一個零點；④f（x）=x²是一個“λ一班隨函數(shù)”；其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對①②③④逐個判斷即可得到答案．

解答 解：①、若f（x）為“1一半隨函數(shù)”，則f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=-f（x），
可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正確；
②、假設(shè)f（x）=a^x是一個“λ一半隨函數(shù)”，則a^x+λ+λa^x=0對任意實數(shù)x成立，
則有a^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a^x是“λ一半隨函數(shù)”，故②正確．
③、令x=0，得f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0．所以f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$（f（0））²＜0，
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有實數(shù)根，
因此任意的“-$\frac{1}{2}$一半隨函數(shù)”必有根，即任意“-$\frac{1}{2}$一半隨函數(shù)”至少有一個零點．故③正確．
④、假設(shè)f（x）=x²是一個“λ一半隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數(shù)”．故④錯誤
正確判斷：①②③．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．