Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-2ax+2，x＜1 (a-3)x，x≥1

，滿足對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題中條件，可以先判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，再結(jié)合分段函數(shù)的解析式，要每一段都是減函數(shù)，且分界點(diǎn)時左段函數(shù)的函數(shù)值要大于等于右段函數(shù)的函數(shù)值，列出不等關(guān)系，求解即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵對任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可知f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)x≥1時，f（x）=（a-3）x為減函數(shù)，則a-3＜0，即a＜3①，且x=1時，有最大值[（a-3）x]_max=a-3；
當(dāng)x＜1時，f（x）=x²-2ax+2，為二次函數(shù)，圖象開口向上，對稱軸為x=a，若f（x）在（-∞，1）上為減函數(shù)，則對稱軸在區(qū)間右側(cè)，即a≥1②，且（x²-2ax+2）_min＞f（1）=3-2a；
又由題意函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞減，則（x²-2ax+2）_min≥[（a-3）x]_max，即3-2a≥a-3，解得a≤2③；
綜合①②③可得a的取值范圍是1≤a≤2．
故答案為：1≤a≤2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．屬于中檔題．