Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，點（n，）（n∈N^*）均在函數(shù)y=x+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若{b_n}為正項等比數(shù)列，且b₁=1，b₁b₂b₃=8，求{b_n}的通項公式和前n項和G_n；
（3）求{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
點（n，）（n∈N^*）均在函數(shù)y=x+1的圖象上，
∴，，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當n=1時，a₁=S₁=2，
∴a_n=2n．
（2）∵=8，
∴b₂=2，
∵b₁=1，∴q==2，
∴=2^n-1，
∴G_n===2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2n，，
∴a_n•b_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，）（n∈N^*）均在函數(shù)y=x+1的圖象上，知，，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由=8，知b₂=2，由b₁=1，知q=2，從而能求出{b_n}的通項公式和前n項和G_n．
（3）由a_n=2n，，知a_n•b_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，由此能求出{a_n•b_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．