Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x-2）是偶函數(shù)，且對任意x∈R恒有f（3-x）+f（x-1）=2014，又f（4）=2013，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運(yùn)用偶函數(shù)的定義，將x換為-x，再根據(jù)?x∈R，有f（3-x）+f（x-1）=2014，得到f（x+4）+f（x-2）=2014，將x換為x+2，再將x換為x+6，得到函數(shù)f（x）的最小正周期為12，從而得到f（2014）=f（-2），再令x=-1，代入f（3-x）+f（x-1）=2014可得f（-2）=1，從而可得結(jié)論．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x-2）是偶函數(shù)，
∴f（-x-2）=f（x-2），
∵?x∈R，有f（3-x）+f（x-1）=2014，
∴f（4-x）+f（x-2）=2014，
∴f（4-x）+f（-2-x）=2014，
即f（x+4）+f（x-2）=2014，
將x換為x+2，得f（x+6）+f（x）=2014，
將x換為x+6，得f（x+12）+f（x+6）=2014，
∴f（x+12）=f（x），
即函數(shù)f（x）的最小正周期為12，
∴f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（-2），
又∵?x∈R，有f（3-x）+f（x-1）=2014，
令x=-1，得f（4）+f（-2）=2014，
∵f（4）=2013，∴f（-2）=1，
∴f（2014）=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性及其運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是解決此類問題的關(guān)鍵，務(wù)必掌握．