Question

1．向量$\overline a=（sinx，\frac{1}{2}），\overline b=（\sqrt{3}cosx+sinx，-1）$，函數(shù)$f（x）=\overline a•\overline b$，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）向量$\overline a=（sinx，\frac{1}{2}），\overline b=（\sqrt{3}cosx+sinx，-1）$，
則函數(shù)$f（x）=\overline a•\overline b$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴$T=\frac{2π}{2}=π$
（2）∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
∴$\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$
∴當(dāng)$x=\frac{π}{3}時(shí)，f{（x）_{max}}=1，當(dāng)x=\frac{π}{2}時(shí)，f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．