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15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=2n,求數(shù)列{anbn2}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)利用遞推關(guān)系即可得出.
(II)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)镾n=n2+2n,
所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.…3分
當(dāng)n=1時,a1=S1=12+2×1=3,滿足上式.…4分
故an=2n+1.…5分
(Ⅱ)因?yàn)閎n=2n.所以anbn2=(2n+1)4n,…6分
其前n項(xiàng)和:Tn=3•4+5•42+7•43+…+(2n-1)•4n-1+(2n+1)•4n①…8分
兩邊乘以4得:4Tn=3•42+5•43+…+(2n-1)•4n+(2n+1)•4n+1…②
由①-②得:-3Tn=3•4+2•42+2•43+…+2•4n-(2n+1)•4n+1
=84n13+42n+14n+1…11分
所以Tn=6n+14n+149. …12分.

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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