Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）證明函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）若方程f（x）=m有兩個(gè)根，試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：由于函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）由于-3≤x≤3，f（x）=x²-2|x|-1，
故當(dāng)x=±1時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2，
當(dāng)x=±3時(shí)，函數(shù)取得最大值為2．
畫出函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）的圖象，如圖：
若方程f（x）=m有兩個(gè)根，則函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)．
數(shù)形結(jié)合可得，m=-2，或 2≥m＞-1．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）由于-3≤x≤3，求出函數(shù)的值域，畫出函數(shù)的圖象，由函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．