已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2處取得極值,并且它的圖象與直線y=-3x+3在點( 1,0 ) 處相切,
(1)求a,b,c的值.
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同實根,求m的取值范圍.
解:(1)f′(x)=3x
2+2ax+b,
∵函數(shù)f(x)在x=-2時取得極值,∴f′(-2)=0,即12-4a+b=0①,
∵函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P(1,0).
∴f′(1)=-3,f(1)=0,即 3+2a+b=-3②,1+a+b+c=0③,
由①②③解得a=1,b=-8,c=6;
(2)由(1)知,f(x)=x
3+x
2-8x+6,f′(x)=3x
2+2x-8=(3x-4)(x+2),
由f′(x)>0得,x<-2或x>
,由f′(x)<0得,-2<x<
,
所以f(x)在(-∞,-2)和(
,+∞)上遞增,在(-2,
)上遞減,
所以當(dāng)x=-2時f(x)取得極大值f(-2)=18,當(dāng)x=
時f(x)取得極小值f(
)=-
,
因為關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同實根,所以函數(shù)y=f(x)和y=m圖象有三個交點,
所以-
<m<18,即為m的取值范圍.
分析:(1)欲求函數(shù)的解析式,只需找到關(guān)于a,b,c的三個方程即可,因為函數(shù)f(x)在x=-2時取得極值,所以當(dāng)x=-2時,導(dǎo)數(shù)等于0,因為函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P(1,0).所以當(dāng)x=1時,導(dǎo)數(shù)等于-3,原函數(shù)值等于0,這樣就得到關(guān)于a,b,c的三個方程,解出a,b,c即可.
(2)數(shù)形結(jié)合:關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同實根,等價于函數(shù)y=f(x)和y=m圖象有三個交點,利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的極大值、極小值,則m介于兩者之間;
點評:本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及方程根的個數(shù)問題,注意函數(shù)在某點取得極值的充要條件為該點處導(dǎo)數(shù)為0,且兩側(cè)異號;方程根的個數(shù)問題往往利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點個數(shù).