Question

已知函數(shù)，．
（1）求的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）．
（2）=．
又 ，
∴，
當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是．
（3）由（2）得 ，
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，．
∴m＞f（x）_max-2且 m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．
分析：（1）根據(jù)所給的解析式，代入所給的自變量的值，計(jì)算出結(jié)果，本題也可以先化簡(jiǎn)再代入數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算．
（2）把所給的三角函數(shù)的解析式進(jìn)行恒等變形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)正弦曲線的單調(diào)性寫(xiě)出ωx+φ所在的區(qū)間，解出不等式即可．
（3）根據(jù)前面整理出來(lái)的結(jié)果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出關(guān)于絕對(duì)值的不等式，求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的最值，本題解題的關(guān)鍵是正確整理出函數(shù)的最簡(jiǎn)結(jié)果，本題的難度和高考卷中出現(xiàn)的題目的難度相似．