Question

已知數(shù)列{a_n}滿足na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

2

3

）ⁿ+（

2

3

）^n-1+…+

2

3

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，設(shè)b_n=n•S_n
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求b₁+b₂+…+b_n的值；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得對任意的n∈N^*都有b_n≤b_k成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=(

2

3

)n，a₁=S₁=

2

3

，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）b_n=n•S_n=n•(

2

3

)n，由此利用錯位相減法能求出b₁+b₂+…+b_n的值．
（3）由_n=n•S_n=n•（

1

3

）ⁿ，n∈N^*，猜想b_n≤b₃=

8

3

成立，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

2

3

）ⁿ+（

2

3

）^n-1+…+

2

3

，①
∴（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+2a_n-2+a_n-1=（

2

3

）^n-1+（

2

3

）^n-2+…+

2

3

，②
①-②，得a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=(

2

3

)n，
∴a₁=S₁=

2

3

，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（

2

3

）ⁿ-（

2

3

）^n-1．
∴a_n=

2 3 ，n=1 ( 2 3 )n-( 2 3 )n-1，n≥2

．
（2）b_n=n•S_n=n•(

2

3

)n，設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴T_n=1•

2

3

+2•(

2

3

)2+3•(

2

3

)3+…+n•(

2

3

)n，③

2

3

Tn=1•(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+3•(

2

3

)4+…+n•(

2

3

)n+1，④
③-④，得：

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•(

2

3

)n+1
=2-（2+

2

3

n）•(

2

3

)n，
∴T_n=6-（6+2n）•(

2

3

)n．
（3）∵b_n=n•S_n=n•（

1

3

）ⁿ，n∈N^*，
∴b1=

2

3

，b2=

8

3

，b3=

8

3

，b₄=

64

81

，
由此猜想b_n≤b₃=

8

3

成立，
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時，b₁=

2

3

≤b3=

8

3

成立，
②假設(shè)n=k時，成立，即b_k≤b₃=

8

3

，
則當(dāng)n=k+1時，b_k+1=（k+1）（

2

3

）^k+1=

2

3

×k×(

2

3

)k+

2

3

×(

2

3

)k≤

2

3

×

8

3

+(

2

3

)k+1，
∵t=（

2

3

）^k+1是減函數(shù)，
∴當(dāng)n=k+1≥5時，b_k+1≤

16

9

+(

2

3

)5＜

8

3

，
即n=k+1也成立．
由①②得存在正整數(shù)k=3，使得對任意的n∈N^*都有b_n≤b_k成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)學(xué)的前n項和的求法，考查不等式是否存在的判斷與求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用，