Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c
（1）若f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．求f（x）的解析式，并求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值．
（2）若y=f（x）-2x在[5，20]上具有單調性，求實數(shù)b的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由f（0）=1，求得c的值，f（x）=x²+bx+1；由f（x+1）-f（x）=2x，求得b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函數(shù)的性質求得f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值．
（2）根據(jù)y=f（x）-2x 的圖象的對稱軸方程為x=

2-b

2

，分函數(shù)在[5，20]上是增函數(shù)和函數(shù)在[5，20]上是減函數(shù)兩種情況，分別求得b的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）∵f（0）=c=1，∴c=1，f（x）=x²+bx+1，
∴f（x+1）-f（x）=[（x+1）²+b（x+1）+1]-[x²+bx+1]=2x+b+1=2x，
∴b=-1，f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，
∵x∈[0，2]，∴當x=

1

2

時，f（x）取得最小值為

3

4

，當x=2時，f（x）取得最大值為 3．
（2）∵y=f（x）-2x=x²+（b-2）x+c的圖象的對稱軸方程為x=

2-b

2

，且函數(shù)在[5，20]上具有單調性，
若函數(shù)在[5，20]上是增函數(shù)，則有

2-b

2

≤5，求得b≥-8．
若函數(shù)在[5，20]上是減函數(shù)，則有

2-b

2

≥20，求得b≤-38．
綜上得：b的取值范圍是（-∞，-38]∪[-8，+∞）．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬基礎題．