Question

已知在公差d小于0的等差數(shù)列{a_n}中,S₉=S₁₇,問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大?

Answer 1

解法一:記f(n)=S_n=a₁n+d,并設(shè)S₉=S₁₇=m.

因?yàn)槎�次方�?I>f(n)－m=0有兩個(gè)實(shí)根9和17,

所以f(n)－m=(n－9)(n－17),即f(n)=［(n－13)²－16］+m.

因?yàn)?I>d<0,

所以當(dāng)n=13時(shí),f(n)有最大值,即S₁₃最大.

解法二:設(shè)f(n)=S_n=a₁n+d=dn²+(a₁－)n.

因?yàn)?I>S₉=S₁₇,d<0,所以f(9)=f(17).所以拋物線y=f(x)的對(duì)稱軸是x=13.

又因?yàn)槠溟_口向下,所以當(dāng)n=13時(shí),f(n)有最大值,即數(shù)列{a_n}的前13項(xiàng)和最大.

解法三:因?yàn)?I>S₉=S₁₇,

所以a₁₀+a₁₁+…+a₁₇=0.

又因?yàn)?I>a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=…=a₁₃+a₁₄,

所以a₁₃+a₁₄=0.

因?yàn)?I>d<0,所以數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減,

于是a₁₃>0,a₁₄<0,從而S₁₃最大.

點(diǎn)評(píng):解這類問題一般有兩種思路:

(1)當(dāng)公差d≠0時(shí),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n是關(guān)于n的二次函數(shù).一般地,當(dāng)n取距離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)時(shí),S_n最大(小).

(2)當(dāng)公差d<0時(shí),此數(shù)列是遞減數(shù)列,如果數(shù)列中存在一項(xiàng)a_k,使得a₁,a₂,…,a_k都大于0,而a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k=a₁+a₂+…+a_k最大;若數(shù)列中存在一項(xiàng)a_k=0,而a₁,a₂,…,a_k－1都大于0,a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k－1與S_k相等,它們同時(shí)達(dá)到最大.

也就是說,當(dāng)時(shí),S_k最大.

當(dāng)公差d>0時(shí),可作類似的分析得到當(dāng)時(shí),S_k最小.