Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-ax²（a≥0），l是曲線y=g（x）的一條切線，證明：曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不可能在直線l的上方；
（Ⅲ）求證：（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]＜e（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）是曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)，則函數(shù)在M處的切線方程為y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），構(gòu)造h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，求出h（x）在x=x₀處取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，從而得出結(jié)論；
（Ⅲ）先證明當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，有l(wèi)n（x+1）＜x，取對(duì)數(shù)，利用

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），結(jié)合裂項(xiàng)求和，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=-

x

x+1

，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞0，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=0時(shí)，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）-ax²-x，
設(shè)M（x₀，y₀）是曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)，則函數(shù)在M處的切線方程為y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），
即y=（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+g（x₀）
令h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+g（x₀）]，則
h′（x）=

1

x+1

-2ax-1-（

1

x0+1

-2ax₀-1），
∵h(yuǎn)′（x₀）=0，
∴h′（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）在（-1，x₀）上是增函數(shù)，在（x₀，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）在x=x₀處取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，
∴曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不可能在直線l的上方；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（-1，+∞）是恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，有l(wèi)n（x+1）＜x，
∵

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），
∴l(xiāng)n{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]=2（

1

2

-

1

2n+1

）=1-

2

2n+1

＜1，
∴（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．