Question

2010年上海世博會(huì)組委會(huì)為保證游客參觀的順利進(jìn)行，對(duì)每天在各時(shí)間段進(jìn)入園區(qū)和離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)作了一個(gè)模擬預(yù)測(cè)．為了方便起見(jiàn)，以10分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午9點(diǎn)10分作為第一個(gè)計(jì)算人數(shù)的時(shí)間，即n=1；9點(diǎn)20分作為第二個(gè)計(jì)算人數(shù)的時(shí)間，即n=2；依此類推…，把一天內(nèi)從上午9點(diǎn)到晚上24點(diǎn)分成了90個(gè)計(jì)算單位．
對(duì)第n個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)f（n）和時(shí)間n（n∈N^*）滿足以下關(guān)系（如圖1）：f（n）=

3600 (1≤n≤24) 3600•3 n-24 12 (25≤n≤36) -300n+21600 (37≤n≤72) 0 (73≤n≤90)

，n∈N^*
對(duì)第n個(gè)時(shí)刻離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)g（n）和時(shí)間n（n∈N^*）滿足以下關(guān)系（如圖2）：g（n）=

0 (1≤n≤24) 500n-12000 (25≤n≤72) 5000 (73≤n≤90)

，n∈N^*
（1）試計(jì)算在當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有多少游客？
（2）請(qǐng)求出當(dāng)天世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多的時(shí)刻．

Answer 1

分析：（1）利用f（n）和g（n）求出下午3點(diǎn)鐘即n=36時(shí)進(jìn)園人數(shù)和離開(kāi)園區(qū)人數(shù)，取其差值即可
（2）對(duì)n進(jìn)行分類，利用f（n）-g（n）＞0還是＜0判斷園中人數(shù)是增加還是減少，求得n的值

解答：解：（1）當(dāng)0≤n≤24且n∈N^*時(shí)，f（n）=3600，
當(dāng)25≤n≤36且n∈N^*時(shí)，f(n)=3600•3

n-24

12

（2分）
所以S₃₆=[f（1）+f（2）+f（3）++f（24）]++[f（25）+f（26）++f（36）]
=3600×24+3600×[

12 3 ( 12 3 12-1)

12 3 -1

]
=86400+82299.59=168700；（2分）
另一方面，已經(jīng)離開(kāi)的游客總?cè)藬?shù)是：
T₁₂=g（25）+g（26）++g（36）
=12×500+

12×11

2

×500=39000；（2分）
所以S=S₃₆-T₁₂=168700-39000=129700（人）
故當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有129700位游客．（2分）
（2）當(dāng)f（n）-g（n）≥0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞增；當(dāng)f（n）-g（n）＜0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞減．
（i）當(dāng)1≤n≤24時(shí)，園區(qū)人數(shù)越來(lái)越多，人數(shù)不是最多的時(shí)間；（2分）
（ii）當(dāng)25≤n≤36時(shí)，令500n-12000≤3600，得出n≤31，
即當(dāng)25≤n≤31時(shí)，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來(lái)越多；（2分）
當(dāng)32≤n≤36時(shí)，3600•3

n-24

12

＞500n-12000，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來(lái)越多；（2分）
（iii）當(dāng)37≤n≤72時(shí)，令-300n+21600=500n-12000時(shí)，n=42，
即在下午4點(diǎn)整時(shí)，園區(qū)人數(shù)達(dá)到最多．
此后離開(kāi)人數(shù)越來(lái)越多，故園區(qū)內(nèi)人數(shù)最多的時(shí)間是下午4點(diǎn)整．（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的應(yīng)用，主要考查分類討論思想，有一定的難度．