Question

如圖，是函數(shù)y=Asin（ωx+φ），（-π＜φ＜π）的圖象的一段，O是坐標原點，P是圖象的最高點，A點坐標為（5，0），若|

OP

|=

10

，

OP

•

OA

=15，則此函數(shù)的解析式為

y=sin(

π

4

x-

π

4

)

．

Answer 1

分析：設P（x₀，A），依題意利用向量的數(shù)量積的坐標運算通過解方程可求得x₀與A的值，繼而可求得其周期T，從而可求得ω與φ．

解答：解：設P（x₀，A）（A＞0），則

OA

=（x₀，A），
∵|

OP

|=

10

，
∴

OP

2=x02+A²=10，①
又

OP

•

OA

=15，A點坐標為（5，0），
∴5x₀+0×A=15，
∴x₀=3；
將x₀=3代入①得A=1．設其周期為T，
∵

T

4

=5-3=2，
∴T=8，令ω＞0，又T=

2π

ω

，
∴

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

．
又函數(shù)y=sin（

π

4

x+φ）過A（5，0），且在[3，5]上單調(diào)遞減，
∴

π

4

×5+φ=2kπ+π，k∈Z，
令k=0，得φ=-

π

4

．
∴y=sin（

π

4

x-

π

4

）．
故答案為：y=sin（

π

4

x-

π

4

）．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查向量的數(shù)量積與方程思想，求得x₀與A的值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．