【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個(gè)全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點(diǎn)H.設(shè)弧AD的長為，.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時(shí)，招貼畫最優(yōu)美.證明：當(dāng)角滿足：時(shí)，招貼畫最優(yōu)美.

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）分類時(shí)，點(diǎn)P在線段OG上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段GH上，當(dāng) 時(shí)，.求出半徑后可得弦長；

（2）由（1）的分類討論求得.，令，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求它的最大值即可得．

解：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段OG上，；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段GH上，；

當(dāng) 時(shí)，. 綜上所述，，.

所以，弧AD的長，故所求函數(shù)關(guān)系式為，.

（2）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng) 時(shí)，.所以，，.

從而，.

記，. 則.

令，得. 因?yàn)?/span>，所以，

從而， 顯然，所以.

記滿足的，下面證明是函數(shù)的極值點(diǎn).

設(shè)，.則在上恒成立， 從而在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減.

故 在處取得極大值，也是最大值.

所以，當(dāng)滿足時(shí)，函數(shù)即取得最大值，此時(shí)招貼畫最優(yōu)美.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1， ＝9a2a6.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求證：.

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【題目】在銳角中，角的對(duì)邊分別為，.

（1）求角的大�。�

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.

（1）請(qǐng)用角表示清潔棒的長；

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�

（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項(xiàng)和，且， ，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

（2）設(shè)bn＝an3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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