Question

PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：過(guò)PC上任意一點(diǎn)D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．先證明點(diǎn)O在∠APB的平分線上，通過(guò)解直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．

解答：解：在PC上任取一點(diǎn)D并作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．         
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PA，OF⊥PB，因?yàn)镈O⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．
△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，
因?yàn)椤螦PC=∠BPC=60°，所以點(diǎn)O在∠APB的平分線上，即∠OPE=30°．
設(shè)PE=1，∵∠OPE=30°∴OP=

1

cos30°

=

2 3

3

在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，則PD=2．
在直角△DOP中，OP=

2 3

3

，PD=2．則cos∠DPO=

OP

PD

=

3

3

．
即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面所成角的大小計(jì)算．解題過(guò)程構(gòu)造了解題必需的直角三角形．考查空間想象能力，計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力．