Question

如圖，F(xiàn)是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，Q是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q．
（Ⅰ）直線l與拋物線有唯一公共點(diǎn)，求l方程；
（Ⅱ）直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)；（i）設(shè)FA、FB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（ii）若點(diǎn)R在線段AB上，且滿足

|AR|

|RB|

=|

AQ

QB

|，求點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用直線l與拋物線有唯一公共點(diǎn)
（1）若k≠0，令△=0得，k=±1，此時(shí)l的方程為y=x+1或y=-x-1；若k=0，方程有唯一解，此時(shí)l的方程為y=0；
（2）（ i）顯然k≠0，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則利用韋達(dá)定理及斜率公式可求k₁+k₂的值；
（ ii）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y）．利用

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，即可得到y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k，x=

1

k

y-1=2-1=1，由此可得點(diǎn)R的軌跡方程．

解答：解：由題意，Q（-1，0），直線l斜率存在，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x+1），
代入拋物線方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
（1）若k≠0，令△=0，得k=±1，此時(shí)l的方程為y=x+1或y=-x-1；
若k=0，方程有唯一解，此時(shí)l的方程為y=0；
（2）顯然k≠0，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，y1+y2=

4

k

，y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=4（7分）
（ i）k1+k2=

y1

x1-1

•

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0（9分）
（ ii）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y）
∵

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，∴

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，
∴y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k，x=

1

k

y-1=2-1=1，（12分）
由△＞0得，-1＜k＜1，又k≠0，
∴y∈（-2，0）∪（0，2），
綜上所述，點(diǎn)R的軌跡方程為x=1（y∈（-2，0）∪（0，2））（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，注意分類討論是關(guān)鍵．