分析:(1)設(shè)動圓半徑為r,則
|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由橢圓定義能求出點P的軌跡E的方程.
(2)①由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,由Q,S,R,T為不同的四個點,能夠證明
+y°2<1.
②若l
1或l
2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.若兩條直線的斜率存在,設(shè)l
1的斜率為k
1,則l
1的方程為y=k
1(x+1)
,得
|QS|=2,同理得
|RT|=2,由此能求出四邊形QRST的面積取得最小值.
解答:(1)解:設(shè)動圓半徑為r,
則
|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,
由橢圓定義可知,點P的軌跡E是橢圓,
其方程為
+y2=1.(2分)
(2)①證明:由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,
則有
x°2+y°2=1,
又因Q,S,R,T為不同的四個點,
+y°2<1.(4分)
②解:若l
1或l
2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.(6分)
若兩條直線的斜率存在,設(shè)l
1的斜率為k
1,
則l
1的方程為y=k
1(x+1),
聯(lián)立
,
得(2k
2+1)x
2+4k
2x+2k
2-2=0,
則
|QS|=2,(8分)
同理得
|RT|=2,
∴
SQSRT=|QS|•|RT|=4≥4=,
當且僅當2k
2+1=k
2+1,即k=±1時等號成立.(11分)
綜上所述,當k=±1時,四邊形QRST的面積取得最小值為
.(12分)
點評:本題考查點的軌跡方程的求法,考查不等式的證明,考查四邊形面積的最小值的求法,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.