已知圓C:(x+1)2+y2=8,過D(1,0)且與圓C相切的動圓圓心為P,
(1)求點P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)過點C的直線l1交曲線E于Q,S兩點,過點D的直線l2交曲線E于R,T兩點,且l1⊥l2,垂足為W.(Q,S,R,T為不同的四個點)
①設(shè)W(x°,y°),證明:
x°22
+y°2<1
;
②求四邊形QRST的面積的最小值.
分析:(1)設(shè)動圓半徑為r,則|PC|=2
2
-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2
2
>|CD|=2
,由橢圓定義能求出點P的軌跡E的方程.
(2)①由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,由Q,S,R,T為不同的四個點,能夠證明
x°2
2
+y°2<1

②若l1或l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.若兩條直線的斜率存在,設(shè)l1的斜率為k1,則l1的方程為y=k1(x+1)
y=k1(x+1)
x2
2
+y2=1
,得|QS|=2
2
k2+1
2k2+1
,同理得|RT|=2
2
k2+1
k2+2
,由此能求出四邊形QRST的面積取得最小值.
解答:(1)解:設(shè)動圓半徑為r,
|PC|=2
2
-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2
2
>|CD|=2

由橢圓定義可知,點P的軌跡E是橢圓,
其方程為
x2
2
+y2=1
.(2分)
(2)①證明:由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,
則有x°2+y°2=1,
又因Q,S,R,T為不同的四個點,
x°2
2
+y°2<1
.(4分)
②解:若l1或l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.(6分)
若兩條直線的斜率存在,設(shè)l1的斜率為k1,
則l1的方程為y=k1(x+1),
聯(lián)立
y=k1(x+1)
x2
2
+y2=1

得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
|QS|=2
2
k2+1
2k2+1
,(8分)
同理得|RT|=2
2
k2+1
k2+2
,
SQSRT=
1
2
|QS|•|RT|=4
(k2+1)2
(2k2+1)(k2+2)
≥4
(k2+1)2
9
4
(k2+1)2
=
16
9

當且僅當2k2+1=k2+1,即k=±1時等號成立.(11分)
綜上所述,當k=±1時,四邊形QRST的面積取得最小值為
16
9
.(12分)
點評:本題考查點的軌跡方程的求法,考查不等式的證明,考查四邊形面積的最小值的求法,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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