Question

14．函數(shù)$f（x）=cos（3x+\frac{5π}{2}）$，滿足$\frac{f（{x}_{i}）}{{x}_{i}}=m$，其中${x}_{i}∈[-2π，2π]，i=1，2，…，n，n∈{N}^{*}$，則n的最大值為（　　）

• A． 13
• B． 12
• C． 10
• D． 8

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），利用正弦函數(shù)的圖象特征，直線的斜率公式，即可求得n的最大值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=cos（3x+\frac{5π}{2}）$=-sin3x，
當(dāng)$\frac{f（{x}_{i}）}{{x}_{i}}=m$時(shí)，可得圖象上的點(diǎn)（x_i，f（x₁））與原點(diǎn)連線的斜率為定值m，
故當(dāng)n最大時(shí)，m=0，點(diǎn)（x_i，f（x_i））為f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)（原點(diǎn)除外）；
∵函數(shù)f（x）=sin3x的周期為$\frac{2π}{3}$，
故[-2π，2π]包含6個(gè)周期，
所以滿足$\frac{f（{x}_{i}）}{{x}_{i}}=m$的點(diǎn)（x_i，f（x_i））共有12個(gè)，
即n的最大值為12．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡以及正弦函數(shù)的圖象與直線斜率公式的應(yīng)用問題，抽象符號容量大，不易理解，是綜合性題目．