Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上一點A（a，0）（a＞0）的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線l：x=-a作垂線，垂足分別為M₁、N₁．
（Ⅰ）當a=時，求證：AM₁⊥AN₁；
（Ⅱ）記△AMM₁、△AM₁N₁、△ANN₁的面積分別為S₁、S₂、S₃，是否存在λ，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立？若存在，求出λ的值，否則說明理由．

Answer 1

解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂）．
將x=my+a代入y²=2px（p＞0）消去x可得y²-2mpy-2ap=0
從而有y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2ap ①
于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=2（m²p+a） ②
又由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂可得x₁x₂===a² ③
（Ⅰ）證：如圖，當a=時，點A（，0）即為拋物線的焦點，
l為其準線，其方程為x=-
此時M₁（-，y₁），N₁（-，y₂）．并由 ①可得y₁y₂=-p²
∵，
∴=0，故有 AM₁⊥AN₁；
（Ⅱ）存在λ=4，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立，證明如下：
證：記直線l與x軸的交點為A₁，則|OA|=|OA₁|=a．
于是有S₁=|MM₁||A₁M₁|=（x₁+a）|y₁|，S₂=|M₁N₁||AA₁|=a|y₁-y₂|，S₃=|NN₁||A₁N₁|=（x₂+a）|y₂|，
∴S₂²=4S₁S₃?（a|y₁-y₂|））²=（（x₁+a）|y₁|）² ×（（x₂+a）|y₂|）² ?a²[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=[x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²]|y₁y₂|
將①、②、③代入上式化簡可得
a²（4m²p²+8ap）=4a²p（m²p+2a）上式恒成立，即對任意的a＞0，S₂²=4S₁S₃成立
分析：（Ⅰ） 由題意，可設(shè)設(shè)直線MN的方程為x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂）．將x=my+a代入y²=2px（p＞0）消去x可得y²-2mpy-2ap=0利用根與系數(shù)的關(guān)系及點A（a，0）得出即可證明出結(jié)論；
（Ⅱ）假設(shè)存在λ=4，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立，分別表示出三個三角形的面積，代入驗證即可證明出結(jié)論
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查了根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的面積公式，拋物線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是認真審題準確轉(zhuǎn)化題設(shè)中的關(guān)系，本題綜合性強，符號計算運算量大，解題時要認真嚴謹避免馬虎出錯．