設(shè)AB是橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，若把長(zhǎng)軸2010等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P2009，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|的值是（ ）
A．2008a
B．2009a
C．2010a
D．2011a
【答案】分析：先根據(jù)橢圓的定義可知|F1Pi|+|F2Pi|=2a，進(jìn)而可求得|F1P1|+|F2P1|+|F1P2|+|F2P2|+…+|F1P2009|+|F2P2009|的值，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)P1，P2，…，P2009關(guān)于y軸成對(duì)稱分布，可知|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|=（|F1P1|+|F2P1|+|F1P2|+|F2P2|+…+|F1P2009|+|F2P2009|），最后根據(jù)|F1A|+|F2B|=2a求得結(jié)果．
解答：解：由橢圓的定義可知|F1Pi|+|F2Pi|=2a（i=1，2…，2009）
∴|F1P1|+|F2P1|+|F1P2|+|F2P2|+…+|F1P2009|+|F2P2009|=2a×2009=4018a
由題意知點(diǎn)P1，P2，…，P2009關(guān)于y軸成對(duì)稱分布，
∴|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|=（|F1P1|+|F2P1|+|F1P2|+|F2P2|+…+|F1P2009|+|F2P2009|）=2009a，
又∵|F1A|+|F2B|=2a
故所求的值為2011a．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義．考查了學(xué)生對(duì)橢圓第一定義的理解和靈活運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=
a2
m
于兩點(diǎn)Q、R，求證
OQ
•
OR
＞4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

設(shè)AB是橢圓數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，若把長(zhǎng)軸2010等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P2009，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|的值是


  1. A.
    2008a
  2. B.
    2009a
  3. C.
    2010a
  4. D.
    2011a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓數(shù)學(xué)公式的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是橢圓數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線數(shù)學(xué)公式于兩點(diǎn)Q、R，求證數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年山東省威海市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是橢圓（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線于兩點(diǎn)Q、R，求證．

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