Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，n∈N₊，記．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列b_n是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 若a_n≤t•4ⁿ對(duì)任意n∈N₊恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件先得，再分別表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，兩式相除，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，對(duì)a_n≤t•4ⁿ分離參數(shù)得，從而可解；
（Ⅲ）由于，利用放縮法可證．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴，∴
兩式相除得
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由a_n≤t•4ⁿ得易得是關(guān)于n的減函數(shù)，∴，∴（8分）
（Ⅲ）．∴
=．∴．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)，考查分離參數(shù)法求解恒成立問題，考查放縮法證明不等式，屬于中檔題．