已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=3,a
n+1a
n+2a
n+1=3a
n+2,n∈N
+,記

.
(Ⅰ) 求證:數(shù)列b
n是等比數(shù)列;
(Ⅱ) 若a
n≤t•4
n對(duì)任意n∈N
+恒成立,求t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:

.
【答案】
分析:(Ⅰ)由條件先得

,再分別表示∴a
n+1-2,a
n+1+1,兩式相除,可得數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為

,公比為

的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

,對(duì)a
n≤t•4
n分離參數(shù)得

,從而可解;
(Ⅲ)由于

,利用放縮法可證.
解答:解:(Ⅰ)證明:∵a
n+1a
n+2a
n+1=3a
n+2,∴

,∴

兩式相除得

∴數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為

,公比為

的等比數(shù)列.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

,∴

由a
n≤t•4
n得

易得

是關(guān)于n的減函數(shù),∴

,∴

(8分)
(Ⅲ)

.∴

=

.∴

.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng),考查分離參數(shù)法求解恒成立問題,考查放縮法證明不等式,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1且
an+1=, n∈N*.
(1)若數(shù)列{b
n}滿足:
bn=(n∈N*),試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{a
nb
n}的前n項(xiàng)和S
n;
(3)數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項(xiàng)公式
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n=
(n≥2,n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a
1•a
2•…a
n<2•n!
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*)
(1)若
a1=,求a
n;
(2)若a
1=a∈(k,k+1),(k∈N
*),求{a
n}的前3k項(xiàng)的和S
3k(用k,a表示)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•北京模擬)已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2,且a
1=1,那么它的通項(xiàng)公式a
n等于
2n-1
2n-1
.
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