Question

【題目】已知橢圓： 過(guò)點(diǎn)，且離心率為.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，探究： 是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（其中， ， 分別是直線、的斜率）

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組有， ，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可知.易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，則

綜上所述， 為定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意， 解得， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）依題意， .易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

代入中，得，

設(shè)， ，由,得，

， ，

故

綜上所述， 為定值.