設(shè)x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB，滿(mǎn)足（1）直線AB過(guò)點(diǎn)（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．
（Ⅰ）令M（x，y），F(xiàn)1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）
則
a
=
F1M
，
b
=
F2M

即|
a
|+|
b
|=|
F1M
|+|
F2M
|
即|
F1M
|+|
F2M
|=8
又∵|
F1F2
|=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求軌跡方程為
y2
16
+
x2
12
=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設(shè)AB方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
則
y=kx+3
y2
16
+
x2
9
=1
⇒（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）
x1+x2=-
18k
3k2+4
，x1•x2=-
-21
3k2+4

y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
36-48k2
3k2+4

∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB⇒
OA
•
OB
=0（10分）
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
5
4

所求直線方程為y=±
5
4
x+3（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿(mǎn)足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經(jīng)過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2交于A1，A2兩點(diǎn)，如果弦長(zhǎng)|A1A2|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

三角形ABC的兩頂點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2），第三頂點(diǎn)C在拋物線y=x2+1上，求三角形ABC的重心G的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

[理]如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若AB∥x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則△ABN的周長(zhǎng)l的取值范圍是______．
[文]點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2是其左右焦點(diǎn)，其離心率是
6
3
，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的周長(zhǎng)是2（
3
+
2
）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對(duì)m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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