Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②若f（0）=f（2）時(shí)，則函數(shù)f（x）的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③若m²-n≤0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，m]上是減函數(shù)；
④函數(shù)f（x）有最小值|n-m²|．其中正確的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：①根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系對(duì)①進(jìn)行判斷；
②根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
③已知m²-n≤0，可以判斷x²-2mx+n≥0恒成立，從而去掉絕對(duì)值，再利用函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷；
④已知f（x）=）=|x²-2mx+n|≥0恒成立，最下值應(yīng)為0，需要n-m²=0，從而進(jìn)行判斷；

解答：解：①∵函數(shù)f（x）=|x²-2mx+n|，f（-x）=|x²+2mx+n|，若m≠0，顯然f（-x）≠f（x），故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，對(duì)稱軸為x=m，若f（0）=f（2），可得|n|=|4-4m+n|，解不出m=1，故②錯(cuò)誤；
③∵m²-n≤0，可得△=（-2m）²-4n=4m²-4n=4（m²-n）≤0，f（x）的圖象開口向上，函數(shù)圖象在x軸上方，
∴f（x）=|x²-2mx+n|=x²-2mx+n，對(duì)稱軸為x=m，開口向上，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，m]上是減函數(shù)，故③正確；
④函數(shù)f（x）≥0，說(shuō)明其最小值為0，但是|n-m²|不一定等于0，故④錯(cuò)誤，
故答案為：③；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象及其對(duì)稱軸的問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多比較全面；