Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+

3

cosx，（m＞0）的最大值為2．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域；
（2）已知△ABC外接圓半徑R=2，f（A-

π

3

）+f（B-

π

3

）=8sinAsinB，角A，B所對的邊分別是a，b，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）變形后，根據(jù)最大值為2，求出m的值，確定出f（x），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）根據(jù)（1）確定出f（x）解析式，化簡已知等式左邊，整理后利用正弦定理化簡，變形即可求出所求式子的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=msinx+

3

cosx的最大值

m2+3

=2，
解得：m=1，
∴f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∵x∈[0，π]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
則f（x）在[0，π]上的值域為[-

3

，2]；
（2）化簡得：f（A-

π

3

）+f（B-

π

3

）=sin（A-

π

3

）+

3

cos（A-

π

3

）+sin（B-

π

3

）+

3

cos（B-

π

3

）
=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

+

3

cosAcos

π

3

+

3

sinAsin

π

3

+sinBcos

π

3

-cosBsin

π

3

+

3

cosBcos

π

3

+

3

sinBsin

π

3

=2sinA+2sinB
=8sinAsinB，
即sinA+sinB=4sinAsinB，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R=4，化簡得：

a

4

+

b

4

=4•

a

4

•

b

4

，
整理得：

1

a

+

1

b

=1．

點評：此題考查正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．