Question

14．若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則[lg2]+[lg3]+…+lg[2017]+[lg$\frac{1}{2}$]+[lg$\frac{1}{3}$]+…+[lg$\frac{1}{2017}$]=-2013．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論，當(dāng)2≤n≤9時(shí)，[lgn]=0；當(dāng)10≤n≤99時(shí)，[lgn]=1；當(dāng)100≤n≤999時(shí)，[lgn]=2；當(dāng)1000≤n≤9999時(shí)，[lgn]=3；當(dāng)$\frac{1}{10}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{2}$，[lg$\frac{1}{n}$]=-1；當(dāng)$\frac{1}{100}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{11}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-2；當(dāng)$\frac{1}{1000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{101}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-3；
當(dāng)$\frac{1}{10000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{1001}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-4．從而分別求和即可．

解答 解：當(dāng)2≤n≤9時(shí)，[lgn]=0，
當(dāng)10≤n≤99時(shí)，[lgn]=1，
當(dāng)100≤n≤999時(shí)，[lgn]=2，
當(dāng)1000≤n≤9999時(shí)，[lgn]=3，
故[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]+[2017]
=0×8+1×90+2×900+3×1018
=90+1800+3054
=4944；
當(dāng)$\frac{1}{10}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{2}$，[lg$\frac{1}{n}$]=-1；
當(dāng)$\frac{1}{100}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{11}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-2；
當(dāng)$\frac{1}{1000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{101}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-3；
當(dāng)$\frac{1}{10000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{1001}$時(shí)，[lg$\frac{1}{n}$]=-4．
則[lg$\frac{1}{2}$]+[lg$\frac{1}{3}$]+…+[lg$\frac{1}{2017}$]
=（-1）×9+（-2）×90+（-3）×900+（-4）×1017
=-6957，
故原式=4944-6957=-2013．
故答案為：-2013．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義為載體，主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)值的基本運(yùn)算，解題的關(guān)鍵：是對(duì)對(duì)數(shù)值準(zhǔn)確取整的計(jì)算與理解．