一個(gè)正方形被等分成九個(gè)相等的小正方形,將中間的一個(gè)正方形挖掉如圖(1);再將剩余的每個(gè)正方形都分成九個(gè)相等的小正方形,并將中間一個(gè)挖掉,得圖(2);如此繼續(xù)下去…
(1)第三個(gè)圖中共挖掉多少個(gè)正方形;
(2)設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為1,則第n個(gè)圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為多少?
分析:(1)通過(guò)研究前后兩個(gè)圖形挖去正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,從而求出答案;
(2)第圖(1)到第圖n被挖掉的正方形的邊長(zhǎng)及個(gè)數(shù)分別組成等比數(shù)列{an},由此可求第n個(gè)圖中被挖掉的所有小正方形的面積和.
解答:解:(1)由題意,第三個(gè)圖中共挖掉1+8+82=73個(gè)正方形;
(2)第圖(1)到第圖n被挖掉的正方形的邊長(zhǎng)組成等比數(shù)列{an},且an=(
1
3
)
n
,
其個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列{bn},且bn=(
1
8
)
n-1

∴第n個(gè)圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為S=
1
9
+
8
92
+…+
8n-1
9n
=1-(
8
9
)
n
點(diǎn)評(píng):本題主要考查圖形規(guī)律下的數(shù)列問(wèn)題,關(guān)鍵是尋找規(guī)律,轉(zhuǎn)化為運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求解.
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一個(gè)正方形被等分成九個(gè)相等的小正方形,將中間的一個(gè)正方形挖掉如圖(1);再將剩余的每個(gè)正方形都分成九個(gè)相等的小正方形,并將中間一個(gè)挖掉,得圖(2);如此繼續(xù)下去……,

(1)第三個(gè)圖中共挖掉多少個(gè)正方形;

(2)設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為1,則第n個(gè)圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為多少?

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