曲線都是以原點O為對稱中心、坐標軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點M的坐標是（0,1）,線段MN是曲線的短軸，并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點（A在D的左側(cè)），與曲線交于B,C兩點（B在C的左側(cè)）．
（1）當=，時，求橢圓的方程；
（2）若，求的值．

（1）C1 ,C2的方程分別為，；（2） ．

解析試題分析：（1）解：設曲線C1的方程為,C2的方程為（）…2分
∵C1 ,C2的離心率相同，∴,∴，               3分
令代入曲線方程，則 .
當=時，A,C．……………5分
又∵,.由，且，解得      6分
∴C1 ,C2的方程分別為，．        7分
（2）令代入曲線方程，，得  ，得   9分
由于，所以(-,m),(,m) ．        10分
由于是曲線的短軸，所以.
∵OC⊥AN，（）.                 11分
∵=（,m），=（,-1-m)，
代入（）并整理得2m2+m-1=0，                     12分
∴或(舍負) ，∴ ．          14分
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算。
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0，確定得到m的方程。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓的焦距為2．
⑴求橢圓的方程；
⑵設為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑作圓，當圓與橢圓的右準線有公共點時，求△面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設是橢圓的左焦點，直線方程為，直線與軸交于點，、分別為橢圓的左右頂點，已知，且．
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求三角形面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

雙曲線的離心率等于2，且與橢圓有相同的焦點，求此雙曲線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點．

（Ⅰ）若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2．
試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率為，右焦點到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點，且線段AB中點恰好在直線上，求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標原點).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率等于，點在橢圓上.
(I)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設橢圓的左右頂點分別為,,過點的動直線與橢圓相交于,兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的頂點為，焦點為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設n 為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A, B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在極坐標系中，已知圓經(jīng)過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程．

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