分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),令
x=,即可求得切線的斜率;
(2)分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)原命題等價于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值
,由此可求實數(shù)b的取值范圍.
解答:解:(1)∵a=0,∴
f(x)=+lnx,
∴
f′(x)=-+則f(x)在
x=處切線的斜率
k=f′()=-2…(4分)
(2)函數(shù)f(x)的定義域為x∈(0,+∞),
f′(x)=- ①當(dāng)a=0時,
f′(x)=-+,令f'(x)=0,解得x=1,
∴x∈(0,1),f'(x)<0;x∈(1,+∞),f'(x)>0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)…(6分)
②當(dāng)
0<a<時,
f′(x)=-=0,解得x
1=1或
x2=-1且x
1<x
2列表
x |
(0,1) |
1 |
(1,-1) |
-1 |
(-1,+∞) |
f′(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f(x) |
↓ |
極小值 |
↑ |
極大值 |
↓ |
由表可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);單調(diào)遞增區(qū)間為
(1,-1),單調(diào)遞減區(qū)間為
(-1,+∞);
③當(dāng)
a=時,
f′(x)=-≤0,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).…(10分)
(3)
a=∈(0,),
f′(x)=-=0,解得x
1=1或x
2=3
∵x∈(0,2),∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),
∴f(x)的最小值為
f(1)=原命題等價于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值
,
又g(x)=x
2-2bx+3x∈[1,2]
①當(dāng)b<1時,g(x)的最小值為g(1)=4-2b>2,不合;
②當(dāng)b∈[1,2]時,g(x)的最小值為
g(b)=3-b2≤,解得
≤b≤2;
③當(dāng)b∈(2,+∞)時,g(x)的最小值為
g(2)=7-4b≤,解得b>2,
綜上,b的取值范圍
[,+∞). …(14分)