Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-x．
（1）討論單調(diào)區(qū)間；
（2）m=1時(shí)，求曲線f（x）在M（t，f（t））處的切線方程；
（3）m=1時(shí)，設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)（a，b）時(shí)做曲線f（x）的三條切線，證明-a＜b＜f（a）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=3mx²-1，從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）m=1時(shí)，f′（x）=3x²-1，從而可得f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，從而寫出切線方程；
（3）結(jié)合（2）知，過點(diǎn)（a，b）的切線滿足b=（3t²-1）a-2t³；從而化為方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，從而由數(shù)形結(jié)合的思想求解．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²-1，
①當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）=3mx²-1＜0恒成立，
故函數(shù)f（x）=mx³-x在R上是減函數(shù)；
②當(dāng)m＞0時(shí)，
當(dāng)x∈（-∞，-

3m

3m

）∪（

3m

3m

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-

3m

3m

，

3m

3m

）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

3m

3m

），（

3m

3m

，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-

3m

3m

，

3m

3m

）；
（2）m=1時(shí)，
f′（x）=3x²-1，
f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，
故切線方程為y-（t³-t）=（3t²-1）（x-t）；
化簡得，y=（3t²-1）x-2t³；
（3）證明：由（2）知，過點(diǎn)（a，b）的切線滿足
b=（3t²-1）a-2t³；
即方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
記g（t）=2t³-3at²+a+b，
則g（t）=6t²-6at=6t（t-a），
故g（t）在t=0處有極大值a+b；在t=a處有極小值b-f（a）；
故由題意可得，
b-f（a）＜0＜a+b；
即-a＜b＜f（a）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．