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19.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(0,32B.(0,32]C.[32,+∞)D.(0,+∞)

分析 設(shè)t=sinx,由x∈(0,π)和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍,將t代入f(x)后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出臨界點,根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式,求出實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:設(shè)t=sinx,由x∈(0,π)得t∈(0,1],
∵f(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1-sin2x),
∴f(x)變?yōu)椋簓=t3-at2+a,
則y′=3t2-2at=t(3t-2a),
由y′=0得,t=0或t=2a3
∵f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,
∴函數(shù)y=t3-at2+a在(0,1]上遞減或先減后增,
2a3>0,得a>0,
∴實數(shù)a的取值范圍是(0,+∞),
故選:D.

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,以及構(gòu)造法、換元法的應(yīng)用,考查化簡、變形能力.

練習冊系列答案
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