Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

4

3

，a_n+1=

2(n+1)an

an+2n

（n∈N^*），則a_n的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對a_n+1=

2(n+1)an

an+2n

兩邊取倒數(shù)，然后兩邊同乘以n+1得，

n+1

an+1

=

1

2

+

n

an

，可判定{

n

an

}是等差數(shù)列，從而可求

n

an

，進(jìn)而可得a_n，由a_n的性質(zhì)可求答案．

解答： 解：a_n+1=

2(n+1)an

an+2n

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

an+2n

2(n+1)an

=

1

2(n+1)

+

n

(n+1)an

，
兩邊同乘以n+1得，

n+1

an+1

=

1

2

+

n

an

，
∴{

n

an

}是等差數(shù)列，首項為-

3

4

，公差為

1

2

，
∴

n

an

=-

3

4

+(n-1)•

1

2

=

1

2

n-

5

4

，
∴an=

n

1 2 n- 5 4

=

4

2- 5 n

，
又a₁=-

4

3

，a2=

4

2- 5 2

=-8，n≥3時，a_n＞0，
∴a_n的最小值是-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評：該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．