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【題目】如圖，等邊三角形所在平面與梯形所在平面互相垂直，且有，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由平面幾何知識可得，再由面面垂直的性質定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得結論；

（2）取中點為，可得，從而有平面，以為原點，為軸建立空間直角坐標系(如圖)，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角得出二面角（注意二面角是銳角還是鈍角）.

（1）證明：取中點，連接，

則四邊形為菱形，即有，

所以.

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可得，

取中點，連接，則，，

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面.

以為原點建系如圖，則

，，，，

，，，

設平面的法向量為，則

，取，得.

設平面的法向量為，則，取，，

.

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義在D上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界已知函數

當，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

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【題目】某集團公司為了加強企業(yè)管理，樹立企業(yè)形象，考慮在公司內部對遲到現象進行處罰.現在員工中隨機抽取200人進行調查，當不處罰時，有80人會遲到，處罰時，得到如下數據：

處罰金額（單位：元）

50

100

150

200

遲到的人數

50

40

20

0

若用表中數據所得頻率代替概率.

（Ⅰ）當處罰金定為100元時，員工遲到的概率會比不進行處罰時降低多少？

（Ⅱ）將選取的200人中會遲到的員工分為，兩類：類員工在罰金不超過100元時就會改正行為；類是其他員工.現對類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正四棱柱中，，，點E在上，且.

（1）求異面直線與所成角的正切值：

（2）求證：平面DBE；

（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點.

（1）求證：底面；

（2）求直線與平面所成的角的值；

（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：過點，，為橢圓的左、右焦點，離心率為，圓的直徑為.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設直線與圓相切于第一象限內的點.

①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；

②若直線與橢圓交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為.

（1）求C的方程；

（2）設C的右頂點為A，不過C左、右頂點的直線l：與C相交于M，N兩點，且.請問：直線l是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，，長軸端點為，，為橢圓中心，，斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，這兩點在軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若拋物線上存在兩個點，，橢圓上存在兩個點，，滿足，，三點共線，，，三點共線，且，求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知函數

（1）當時，設函數，求函數的單調區(qū)間和極值；

（2）設是的導函數，若對任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）設函數，當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值.

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