Question

若x，y∈R，且滿足y=

1

2

x²，求證：log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，得x+y的最小值為-

1

2

，從而2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，由此能證明log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

解答： 解：∵x，y∈R，且滿足y=

1

2

x²，
∴x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，
∴x+y的最小值為-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1，y=

1

2

時(shí)，x+y取最小值，
∴2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，
∴l(xiāng)og₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．