已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線,當n≤y≤n+1?(n=0,1,2,…)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設數(shù)列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定義.
(1)求x1、x2和xn的表達式;
(2)求f(x)的表達式,并寫出其定義域;
(3)證明:y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.
【答案】分析:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,進而利用斜率公式得x1=1,再由當n≤y≤n+1?(n=0,1,2,…)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),可得xn的遞推關系,再利用累加法求得xn的表達式.
(2)先求出f(x)的表達式,再根據(jù)b的取值情況分別求得f(x)的定義域.
(3)法1:分情況用數(shù)學歸納法證明.
     法2:分情況利用當xn<x≤xn+1時有f(x)-f(xn)=bn(x-x)>x-xn(n≥1),從而f(x)-x>f(xn)-xn.進而得解.
解答:解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,當0≤y≤1時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b=1的線段,故由
得x1=1.
又由f(x2)=2,當1≤y≤2時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由,即
記x=0.由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn-1,故得
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1;
所以
由此知數(shù)列{xn-xn-1}為等比數(shù)列,其首項為1,公比為
因b≠1,得
=,

(2)當0≤y≤1,從Ⅰ可知y=x,當0≤x≤1時,f(x)=x.
當n≤y≤n+1時,即當xn≤x≤xn+1時,由Ⅰ可知f(x)=n+bn(x-xn)?(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3).
為求函數(shù)f(x)的定義域,須對進行討論.
當b>1時,;
當0<b<1時,n→∞,xn也趨向于無窮大.
綜上,當b>1時,y=f(x)的定義域為;
當0<b<1時,y=f(x)的定義域為[0,+∞).
(3)證法一:首先證明當b>1,時,恒有f(x)>x成立.
用數(shù)學歸納法證明:
(。┯桑2)知當n=1時,在(1,x2]上,y=f(x)=1+b(x-1),
所以f(x)-x=(x-1)(b-1)>0成立
(ⅱ)假設n=k時在(xk,xk+1]上恒有f(x)>x成立.
可得f(xk+1)=k+1>xk+1,
在(xk+1,xk+2]上,f(x)=k+1+bk+1(x-xk+1).
所以f(x)-x=k+1+bk+1(x-xk+1)-x=(bk+1-1)(x-xk+1)+(k+1-xk+1)>0也成立.
由(。┡c(ⅱ)知,對所有自然數(shù)n在(xn,xn+1]上都有f(x)>x成立.
時,恒有f(x)>x.
其次,當b<1,仿上述證明,可知當x>1時,恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.
證法二:首先證明當b>1,時,恒有f(x)>x成立.
對任意的,存在xn,使xn<x≤xn+1,
此時有f(x)-f(xn)=bn(x-x)>x-xn(n≥1),
所以f(x)-x>f(xn)-xn

所以f(xn)-xn>0,
所以f(x)-x>f(xn)-xn>0,
即有f(x)>x成立.
其次,當b<1,仿上述證明,可知當x>1時,恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.
本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎知識,考查歸納、推理和綜合的能力.
點評:本題主要考查函數(shù)與數(shù)列以及極限的綜合知識,考查知識的歸納、推理和綜合運用的能力,能力層次要求高,要理解掌握本題的思想方法.
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