【答案】
分析:(1)依題意f(0)=0,又由f(x
1)=1,進而利用斜率公式得x
1=1,再由當n≤y≤n+1?(n=0,1,2,…)時,該圖象是斜率為b
n的線段(其中正常數(shù)b≠1),可得x
n的遞推關系,再利用累加法求得x
n的表達式.
(2)先求出f(x)的表達式,再根據(jù)b的取值情況分別求得f(x)的定義域.
(3)法1:分情況用數(shù)學歸納法證明.
法2:分情況利用當x
n<x≤x
n+1時有f(x)-f(x
n)=b
n(x-x
)>x-x
n(n≥1),從而f(x)-x>f(x
n)-x
n.進而得解.
解答:解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x
1)=1,當0≤y≤1時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b
=1的線段,故由
得x
1=1.
又由f(x
2)=2,當1≤y≤2時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由
,即
得
.
記x
=0.由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為b
n-1,故得
.
又f(x
n)=n,f(x
n-1)=n-1;
所以
.
由此知數(shù)列{x
n-x
n-1}為等比數(shù)列,其首項為1,公比為
.
因b≠1,得
=
,
即
.
(2)當0≤y≤1,從Ⅰ可知y=x,當0≤x≤1時,f(x)=x.
當n≤y≤n+1時,即當x
n≤x≤x
n+1時,由Ⅰ可知f(x)=n+b
n(x-x
n)?(x
n≤x≤x
n+1,n=1,2,3).
為求函數(shù)f(x)的定義域,須對
進行討論.
當b>1時,
;
當0<b<1時,n→∞,x
n也趨向于無窮大.
綜上,當b>1時,y=f(x)的定義域為
;
當0<b<1時,y=f(x)的定義域為[0,+∞).
(3)證法一:首先證明當b>1,
時,恒有f(x)>x成立.
用數(shù)學歸納法證明:
(。┯桑2)知當n=1時,在(1,x
2]上,y=f(x)=1+b(x-1),
所以f(x)-x=(x-1)(b-1)>0成立
(ⅱ)假設n=k時在(x
k,x
k+1]上恒有f(x)>x成立.
可得f(x
k+1)=k+1>x
k+1,
在(x
k+1,x
k+2]上,f(x)=k+1+b
k+1(x-x
k+1).
所以f(x)-x=k+1+b
k+1(x-x
k+1)-x=(b
k+1-1)(x-x
k+1)+(k+1-x
k+1)>0也成立.
由(。┡c(ⅱ)知,對所有自然數(shù)n在(x
n,x
n+1]上都有f(x)>x成立.
即
時,恒有f(x)>x.
其次,當b<1,仿上述證明,可知當x>1時,恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.
證法二:首先證明當b>1,
時,恒有f(x)>x成立.
對任意的
,存在x
n,使x
n<x≤x
n+1,
此時有f(x)-f(x
n)=b
n(x-x
)>x-x
n(n≥1),
所以f(x)-x>f(x
n)-x
n.
又
,
所以f(x
n)-x
n>0,
所以f(x)-x>f(x
n)-x
n>0,
即有f(x)>x成立.
其次,當b<1,仿上述證明,可知當x>1時,恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.
本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎知識,考查歸納、推理和綜合的能力.
點評:本題主要考查函數(shù)與數(shù)列以及極限的綜合知識,考查知識的歸納、推理和綜合運用的能力,能力層次要求高,要理解掌握本題的思想方法.