Question

已知b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x²＋bx＋c對任意α，β∈R有f(sinα)≥0，f(2＋cosβ)≤0．

(1)求f(1)的值；

(2)證明c≥3

(3)設f(sinα)的最大值為10，求f(x)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)對任意α，β∈R，有－1≤sinα≤1，1≤2＋cosβ≤3．f(sinα)≥0，f(2＋cosβ)≤0，所以f(1)≥0且f(1)≤0，從而f(1)＝0． 　　(2)由(1)可知f(1)＝1＋b＋c＝0，所以b＝－1－c①．當β∈R時，1≤2＋cosβ≤3，因為f(2＋cosβ)≤0恒成立，所以應有f(3)≤0，即32＋3b＋c≤0②．由①②得c≥3． 　　(3)由(1)(2)可知，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象開口向上，過定點(1，0)，對稱軸為x＝≥2的拋物線．故當x∈(－∞，2)時，f(x)是減函數(shù)．而對任意α∈R，有sinα∈[－1，1]，所以只有當sinα＝－1時f(sinα)才取得最大值10．f(sinα)＝sin2α＋bsinα＋c，所以(－1)2＋b(－1)＋c＝10，即1－b＋c＝10．又1＋b＋c＝0，所以b＝－5，c＝4，所以f(x)＝x2－5x＋4．

提示：

由α，β的任意性知，－1≤sinα≤1，1≤2＋cosβ≤3，故在[－1，1]上，f(x)≥0恒成立，在[1，3]上，f(x)≤0恒成立．