【題目】設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）； （2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.

（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯(lián)立方程組利用韋達定理得到，，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.

（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.

（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.

設，，直線的方程為

聯(lián)立，整理得

則，.

因為直線與直線的斜率之和為1，所以，

所以，

將，代入上式，整理得.

所以，即，

則直線的方程為.

故直線恒過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，梯形與平行四邊形所在平面互相垂直， ，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求使方程存在兩個實數(shù)解時，的取值范圍；

（2）設，函數(shù)，.若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流水位（單位：米）的頻率分布直方圖如下.將河流水位在，，，，，，各段內(nèi)的頻率作為相應段的概率，并假設每年河流水位變化互不影響.

（1）求未來4年中，至少有2年該河流水位的概率（結果用分數(shù)表示）.

（2）已知該河流對沿河工廠的影響如下：當時，不會造成影響；當時，損失50000元；當時，損失300000元.為減少損失，工廠制定了三種應對方案.

方案一：不采取措施；

方案二：防御不超過30米的水位，需要工程費用8000元；

方案三：防御34米的最高水位，需要工程費用20000元.

試問哪種方案更好，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示（單位：cm），四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在正方體中，點E是棱的中點，點F是線段上的一個動點．有以下三個命題：

①異面直線與所成的角是定值；

②三棱錐的體積是定值；

③直線與平面所成的角是定值．

其中真命題的個數(shù)是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(I)求函數(shù)的對稱軸方程；

(II)將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．若分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2，c=4，且，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓，分別為其左、右焦點，過的直線與此橢圓相交于兩點，且的周長為8，橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標系中，已知點與點，過的動直線（不與軸平行）與橢圓相交于兩點，點是點關于軸的對稱點．求證：

（i）三點共線．

（ii）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.該杯型幾何體的主體部分可近似看作是雙曲線的右支與直線,,圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉一周得到的幾何體,如圖分別為的漸近線與,的交點,曲邊五邊形繞軸旋轉一周得到的幾何體的體積可由祖恒原理(祖恒原理：冪勢既同，則積不容異).意思是：兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等,那么這兩個幾何體的體積相等，那么這兩個幾何體的體積相等)，據(jù)此求得該金杯的容積是_____.(杯壁厚度忽略不計)

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