Question

【題目】已知橢圓C的方程為 ，點A、B分別為其左、右頂點，點F1、F2分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線 被圓A和圓B截得的弦長之比為 ；

（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為 ；若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得直線l的傾斜角為150°，

則點A到直線l的距離 ，

故直線l被圓A截得的弦長為 ，

直線l被圓B截得的弦長為 ，

據題意有： ，即

化簡得：16e2﹣32e+7=0，

解得： 或 ，又橢圓的離心率e∈（0，1）；

故橢圓C的離心率為 ．

（2）解：假設存在，設P點坐標為（m，n），過P點的直線為L；

當直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截；

故可設直線L的方程為y﹣n=k（x﹣m），

則點A（﹣7，0）到直線L的距離 ，

由（1）有 ，得 = ，

故直線L被圓A截得的弦長為 ，

則點B（7，0）到直線L的距離 ，rB=7，

故直線L被圓B截得的弦長為 ，

據題意有： ，即有16（rA2﹣D12）=9（rB2﹣D22），整理得4D1=3D2，

即 = ，

關于k的方程有無窮多解，

故有： ，

故所求點P坐標為（﹣1，0）或（﹣49，0）．

【解析】（1）根據直線l的斜率可知直線l的傾斜角，進而可求得點A到直線l的距離，進而表示出直線l被圓A截得的弦長和被圓B截得的弦長，利用弦長之比為 ，求得a和c的關系，進而求得e．（2）假設存在，設P點坐標為（m，n），過P點的直線為L，當直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截，故可知直線L的斜率一定存在，進而可設直線方程，求得點A（﹣7，0）到直線L的距離，根據（1）的離心率求得圓A的半徑，同樣可求得圓B的半徑，則可求得直線L被兩圓截得的弦長，根據他們的比為 建立等式，整理成關于k的一元二次方程，方程有無窮多解，進而求得m和n，則點P的坐標可得．